埼玉県公立高校入試　2025年　数学　学校選択問題

次の各問に答えなさい。(45点)

(1) $\frac{2x–y}{3}–\frac{3x–2y}{4}$ を計算しなさい。(4点)

(2) $x$ = $\sqrt{6}+2$ , $y$ = $\sqrt{6}–2$ のとき、 $3xy+6x–y–2$ の値を求めなさい。(4点)

(3) 2次方程式 $4x(x–3)=(x–3{)}^2$ を解きなさい。(4点)

(4) 次は、あるクラスの生徒21人に行ったテストの得点を小さい順に並べたものです。このデータから得られる値として誤っているものを、下のア～エの中から一つ選び、その記号を書きなさい。(4点)

テストの得点(点)

45, 48, 48, 52, 54, 54, 56, 60, 62, 65, 66, 68, 70, 72, 74, 74, 78, 80, 84, 86, 90

• ア 中央値は66である。
• イ 第1四分位数は54である。
• ウ 第3四分位数は74である。
• エ 分布の範囲は45である。

(5) 連続する2つの自然数があります。それぞれを2乗した数の和が365になるとき、これら2つの自然数を求めなさい。(4点)

(6) $y$ は $x$ に反比例し、グラフが点 (6, 3) を通ります。このグラフ上の点のうち、$x$ 座標, $y$ 座標の値がともに整数である点は何個あるか求めなさい。(5点)

(7) 右の図のように、1辺の長さが6cmの正四面体OABCの辺OB, OCの中点をそれぞれP、Qとします。3点P, Q, Aを通る平面で正四面体OABCを切ったとき、頂点Bを含む立体の体積を求めなさい。(5点)

(8) 右の図のような、5枚のカードがあります。

この5枚のカードを箱に入れて、そこから1枚ずつ合計で2枚取り出します。1枚目に取り出したカードの数を $x$ 、2枚目に取り出したカードの数を $y$ とするとき、$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ の値が $\frac{2}{3}$ 以上1以下となる確率を求めなさい。

ただし、箱の中は見えず、取り出したカードは箱に戻さないものとします。また、どのカードの取り出し方も同様に確からしいものとします。(5点)

(9) 右の図のような、OA = OB = 4cm, ∠AOB = 90°のおうぎ形OABがあります。線分ABをひき、AB上に∠AOC = 45°となる点Cをとります。線分OAに平行で点Cを通る直線をひくとき、かげ()をつけた部分（BCEに囲まれた部分)の面積を求めなさい。(5点)

(10) 次は、先生とSさん、Tさんの会話です。これを読んで、下の問に答えなさい。

先生「表1は、A中学校とB中学校の3年男子の反復横とびの結果を度数分布表にまとめたものです。2つの学校の結果を比較して、54回以上とんだ生徒の割合が大きいのはどちらの学校か考えてみましょう。」

Sさん「表1では、合計の人数が異なるね。どうしたら2つの学校の結果を比較できるかな。」

Tさん「各階級の相対度数を求めてその値を用いれば、比較できると思うよ。」

Sさん「そうだね。それでは、表1をもとに各階級の相対度数を求めてみよう。」

問 表2は、表1をもとにつくった相対度数の表です。表2中のアにあてはまる値を書きなさい。また、54回以上とんだ生徒の割合が大きいのはどちらの学校か、表2を用いて、具体的な値を示しながら説明しなさい。(5点)

表1

階級 (回)	A中学校 度数(人)	B中学校 度数(人)
以上 未満
48 ~ 50	5	6
50 ~ 52	5	6
52 ~ 54	10	15
54 ~ 56	25	21
56 ~ 58	35	9
58 ~ 60	20	3
合計	100	60

表2

階級 (回)	A中学校 相対度数	B中学校 相対度数
以上 未満
48 ~ 50	0.05	0.10
50 ~ 52	0.05	0.10
52 ~ 54	0.10	0.25
54 ~ 56	0.25	ア
56 ~ 58	0.35	0.15
58 ~ 60	0.20	0.05
合計	1.00	1.00

次の各問に答えなさい。(13点)

(1) 下の図のように、円Oの外部に点Pがあります。次の【条件】をみたす△PQRの頂点Q,Rをコンパスと定規を使って作図しなさい。

ただし、作図するためにかいた線は、消さないでおきなさい。(6点)

【条件】

• [ 1 ] △PQRの3つの辺すべてが円Oに接している。
• [ 2 ] PQ = PR である。
• [ 3 ] △PQRの3つの頂点P, Q, Rは、この順に反時計回りに三角形の周上に並んでいる。

(2) 下の図のように、△ABCの辺AB上に点Dを、AD : DB = 1 : 2 となるようにとります。辺BC, 線分CDの中点をそれぞれE, Fとするとき、四角形DEFAの対角線DFとAEがそれぞれの点で交わることを証明しなさい。(7点)

次は、先生とJさん、Kさんの会話です。これを読んで、あとの各問に答えなさい。(14点)

先生「下の図のように、はじめの2点の値をそれぞれ1、2として、次の操作を繰り返し行います。」

操作 円周上のとなり合う2点の間に点をとり、その点の値を、となり合う2点の値の和とします。

先生「このとき、円周上にある点の最大値と、円周上にあるすべての点の値の合計が、操作を繰り返し行うとどのように変化するか、その規則性を調べてみましょう。」

Jさん「操作3回目までの点の最大値と、すべての点の値の合計をまとめると、次のような表になりました。どんな規則性があるのでしょうか。」

	はじめ	操作 1 回目	操作 2 回目	操作 3 回目
点の最大値	2	3	5	8
すべての点の値の合計	3	9	27	81

Kさん「Jさんがまとめた表を見ると、操作4回目における点の最大値はア、すべての点の値の合計はイになると思います。」

先生「正解です。」

Jさん「ところで、点の最大値や、すべての点の値の合計における変化の規則性は、はじめの2点の値を変えても同じなのでしょうか。」

先生「はじめの2点の値をを変えてみるというのはよい視点ですね。それでは、はじめの2点の値をそれぞれ自然数 a, b に変えたときについて調べてみましょう。」

(1) ア, イ にあてはまる自然数を求めなさい。(4点)

(2) 下線部について、右の図は、A, Bをはじめの2点として、操作を2回行ったときの図です。操作1回目でとった点をC, D、操作2回目でとった点をE, F, G, Hとします。Aの値を $a$、Bの値を $b$ とするとき、円周上にあるすべての点の値の合計が、$a$ と $b$ の和の9倍になることを説明しなさい。(5点)

(3) はじめの2点の値をそれぞれ2, 5として操作を $n$ 回行い、円周上にあるすべての点の値の合計を求めたところ、1701になりました。このとき、$n$ の値と点の最大値をそれぞれ求めなさい。(5点)

図１で、曲線は関数 $y=\frac{3}{4}{x}^2$ のグラフです。曲線上に $x$ 座標が-2, 4である2点A, Bをとり、この2点を通る直線$l$をひくとき、次の各問に答えなさい。(16点)

(1) 直線 $l$ の式を求めなさい。(4点)

(2) 図２のように、点Bを通り直線AOに平行な直線をひき、$x$軸との交点をCとします。このとき、△OACを$x$軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

ただし、座標軸の単位の長さを1cmとします。(6点)

(3) 図３のように、点Bから $y$ 軸に垂線をひき、$x$ 軸との交点をDとします。また、曲線上の $0<x<4$ の範囲に、$x$ 座標が $t$ である点Pをとります。△OAPの面積と△BDPの面積が等しくなるとき、点Pの $x$ 座標を求めなさい。(6点)

５ 図１のような、底面の半径が9cm, 高さが15cmの円柱があります。このとき、次の各問に答えなさい。(12点)

(1) 図２のように、底面に垂直な平面で図１の円柱を切ったとき、切り口は正方形ABCDになりました。辺ABを通り正方形ABCDに垂直な平面で切ったときの切り口を四角形ABEFとするとき、四角形ABEFの面積を求めなさい。(6点)

(2) 図３のように、半径の比が 1 : 2 である2つの球O, Pが、次の【条件】をみたして図１と同じ立体の容器の中に入っているとき、Oの半径の最大値を求めなさい。

ただし、容器の厚さは考えないものとします。(6点)

【条件】

• [ 1 ] OとPは、互いに接している。
• [ 2 ] OとPは、容器のそれぞれ異なる底面に接している。
• [ 3 ] OとPは、容器の側面に接している。